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<title>Resonanz</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Resonanz</h1>

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</div>

Resonanz (von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> resonare „widerhallen“) ist in <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> und <a href="Technik" title="Technik">Technik</a> das verstärkte Mitschwingen eines <a href="Schwingung" title="Schwingung">schwingfähigen Systems</a>, wenn es einer zeitlich veränderlichen Einwirkung unterliegt. Dabei kann das System um ein Vielfaches stärker ausschlagen als beim konstanten Einwirken der Anregung mit ihrer maximalen Stärke. Bei periodischer Anregung muss die <a href="Frequenz" title="Frequenz">Anregungsfrequenz</a> oder ein ganzzahliges Vielfaches davon in der Nähe einer <a href="Resonanzfrequenz" title="Resonanzfrequenz">Resonanzfrequenz</a> des Systems liegen. Das Phänomen kann bei allen schwingfähigen physikalischen und technischen Systemen auftreten und kommt auch im Alltag häufig vor. Resonanzen werden in der Technik oft ausgenutzt, um eine bestimmte Frequenz herauszufiltern oder zu verstärken. Wo eine Verstärkung nicht gewünscht ist, müssen unerwünschte Resonanzen jedoch vermieden werden.

Die im Resonanzfall anwachsenden Ausschläge entstehen dadurch, dass das System bei jeder Schwingung erneut Energie aufnimmt und speichert. Um zu verhindern, dass das System durch zu große Ausschläge aus dem schwingfähigen Amplitudenbereich austritt (<a href="Resonanzkatastrophe" title="Resonanzkatastrophe">Resonanzkatastrophe</a>) oder zerstört wird, kann seine Dämpfung erhöht, seine <a href="Eigenfrequenz" class="mw-redirect" title="Eigenfrequenz">Eigenfrequenz</a> oder die Anregungsfrequenz verändert, oder die Stärke der Anregung verringert werden. Das anfängliche Anwachsen der Ausschläge wird dadurch begrenzt, dass die zugeführte Energie zunehmend von der Dämpfung (z. B. <a href="Reibung" title="Reibung">Reibung</a>) aufgezehrt wird, oder dadurch, dass sich bei zu großem Unterschied zwischen Resonanz- und Anregungsfrequenz der Energiefluss immer wieder umkehrt, weil Anregung und schwingendes System „aus dem Takt“ geraten.

Als Folge stellt sich im Laufe der Zeit der Zustand der eingeschwungenen Schwingung her, bei dem die <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a> konstant bleibt und die Schwingungsfrequenz mit der Anregungsfrequenz übereinstimmt. Die weiterhin in jeder Schwingung zugeführte Energie wird dann vollständig von der Dämpfung aufgezehrt. Nach Abschalten der Anregung kommt das System in Form einer <a href="Ged%C3%A4mpfte_Schwingung" class="mw-redirect" title="Gedämpfte Schwingung">gedämpften Schwingung</a> mit seiner Eigenfrequenz allmählich zur Ruhe.

Das Phänomen der Resonanz spielt in Physik und Technik auf vielen Gebieten eine wichtige Rolle, zum Beispiel in der <a href="Mechanik" title="Mechanik">Mechanik</a>, <a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a>, <a href="Baudynamik" title="Baudynamik">Baudynamik</a>, <a href="Elektrizit%C3%A4tslehre" class="mw-redirect" title="Elektrizitätslehre">Elektrizitätslehre</a>, <a href="Geowissenschaften" title="Geowissenschaften">Geowissenschaft</a>, <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a>, <a href="Optik" title="Optik">Optik</a> und <a href="Quantenphysik" title="Quantenphysik">Quantenphysik</a>. In der modernen Quantenphysik gilt die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=hf}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=hf}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f39fac3593bb1e2dec0282c112c4dff7a99007f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.492ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=hf}" loading="lazy">, die jedem Energiebetrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> vermittels der <a href="Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planckschen Konstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> die Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> einer Schwingung zuordnet. Anstelle der Resonanz bei einer bestimmten Frequenz betrachtet man hier die Resonanz bei einer bestimmten Energie, die der Differenz der Energien von zwei verschiedenen Anregungszuständen des betrachteten Systems entspricht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Der Begriff Resonanz stammt aus der <a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a>, wo er von altersher das deutlich bemerkbare Mitschwingen von Saiten bei Tönen geeigneter Tonhöhe bezeichnet. Die Anregung großer Schwingungen durch periodisch wirkende Kräfte der richtigen Frequenz wurde schon in <a href="Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileis</a> Untersuchungen 1602 und 1638 zu <a href="Pendel" title="Pendel">Pendeln</a> und <a href="Saite" title="Saite">Saiten</a> beschrieben, die am Beginn der neuzeitlichen Naturwissenschaft standen. Allerdings nahm er auch an, Schwingungen mit anderer als der Eigenfrequenz ließen sich überhaupt nicht anregen.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> Eine entsprechende <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichung</a> für einen Massenpunkt (ohne Dämpfung der Bewegung) wurde 1739 von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> erstmals aufgestellt. Seine allgemeine Lösung enthielt bereits das Mitschwingen mit der Frequenz der anregenden Kraft in Überlagerung mit einer Schwingung mit der Eigenfrequenz sowie im Falle der Gleichheit beider Frequenzen das unbegrenzte Anwachsen der Schwingungsweite. Er sah diese Ergebnisse, die sich aus der Rechnung ergaben, allerdings als „wunderliche“ theoretische Voraussage an.<a href="#cite_note-3">[3]</a> 1823 behandelte <a href="Thomas_Young" title="Thomas Young">Thomas Young</a> im Zusammenhang mit den Gezeiten die mechanische Resonanz einschließlich Dämpfung und gab erstmals die vollständige Berechnung von Resonanzkurve und Phasenverschiebung an.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Im Zusammenhang mit der Erzeugung und dem Nachweis elektrischer und magnetischer Schwingungen fand <a href="Anton_Oberbeck" title="Anton Oberbeck">Anton Oberbeck</a> für den <a href="Elektrischer_Schwingkreis" class="mw-redirect" title="Elektrischer Schwingkreis">elektrischen Schwingkreis</a> dieselben Erscheinungen, worauf er die Bedeutung des Begriffs „Resonanz“ entsprechend erweiterte.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Die Entdeckung der elektromagnetischen Wellen durch <a href="Heinrich_Hertz" title="Heinrich Hertz">Heinrich Hertz</a>, sowie deren Nutzung zur drahtlosen Telegraphie durch <a href="Guglielmo_Marconi" title="Guglielmo Marconi">Guglielmo Marconi</a> ab 1895, verschafften der elektromagnetischen Resonanz dann schnell eine große Bedeutung in Wissenschaft und Technik.

Jedoch wurde die mechanische Resonanz im Wesentlichen erst ab Anfang des 20. Jahrhunderts richtig gewürdigt, nachdem der Physiker und Mathematiker <a href="Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">Arnold Sommerfeld</a> – als erster Professor für Technische Mechanik, der nicht vorher Ingenieur gewesen war – darauf hingewiesen hatte. Damals waren Hängebrücken mit marschierenden Soldaten oder schnell fahrenden Dampflokomotiven schon durch Resonanz eingestürzt, und bei den langen Antriebswellen von größeren Dampfschiffen waren bei bestimmten Geschwindigkeiten bereits unerwartet starke Schwingungen aufgetreten, die mehrfach schon zu Zerstörungen geführt hatten.<a href="#cite_note-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a><a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a><a href="#cite_note-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alltagsbeispiele">Alltagsbeispiele</h2></div>

Resonanz kommt im Alltag häufig vor. Allerdings sind nicht alle Schwingungen Folge einer Resonanz.

Beim wiederholten Anschwingen einer <a href="Schaukel" title="Schaukel">Kinderschaukel</a> gibt man der Schaukel immer dann einen Schubs, wenn diese nach vorne schwingt. Die Anregungsstöße erfolgen dabei periodisch und offensichtlich gerade mit der Frequenz der Schaukelschwingung: es handelt sich also um Resonanz. Man beachte, dass die Krafteinwirkung bei den anregenden Schubsen keineswegs wie eine Sinuskurve verläuft, es reicht aus, dass sie periodisch erfolgt. Dabei kann die Anregungsfrequenz auch einen ganzzahligen Bruchteil der Schwingungsfrequenz betragen, wenn man z. B. nur jedes zweite oder dritte Mal anschubst.

Anders ist das bei einem ruhenden Pendel, wenn man ihm einen einmaligen Stoß gibt. Auch wenn das Ergebnis ähnlich ist, nämlich dass das Pendel nun schwingt, so liegt keine periodische Anregung vor und es handelt sich nicht um Resonanz.

Jeder kennt die Situation in der Kantine: man trägt einen Teller Suppe auf dem Tablett. Stimmt die Frequenz, mit der die Suppe im Teller hin- und herschwappt, gerade mit der eigenen Schrittfrequenz überein, so schaukelt sich diese Schwingung mit jedem Schritt auf, bis die Suppe überschwappt, oder man eben langsamer bzw. schneller geht. Die Suppe kann auch überschwappen, wenn man ruckartig anhält; hier liegt aber keine periodische Anregung und somit keine Resonanz vor. Die Suppe schwappt – analog zum nur einmal angestoßenen Pendel – aufgrund von <a href="Impulserhaltung" class="mw-redirect" title="Impulserhaltung">Impulserhaltung</a> über.

Bei einem <a href="Transistorradio" title="Transistorradio">Transistorradio</a> wird mit dem Drehknopf zur Senderwahl der <a href="Variabler_Kondensator" title="Variabler Kondensator">Drehkondensator</a> in einem LC-<a href="Schwingkreis" title="Schwingkreis">Schwingkreis</a> verändert, so dass der Schwingkreis auf eine bestimmte Frequenz eingestellt ist. <a href="Radiowelle" title="Radiowelle">Radiowellen</a> dieser Frequenz können nun verstärkt werden und die ihnen aufmodulierten kleinen Amplituden- oder Frequenzänderungen (siehe <a href="Amplitudenmodulation" title="Amplitudenmodulation">Amplitudenmodulation</a> und <a href="Frequenzmodulation" title="Frequenzmodulation">Frequenzmodulation</a>) können in das übertragene akustische Signal umgewandelt werden. Die im LC-Schwingkreis eingestellte Resonanzfrequenz filtert dabei gerade die Radiowellen heraus, die auf einer bestimmten Frequenz übertragen wurden.

Die Trommel in einer Waschmaschine ist mit Federn aufgehängt, die mit einer bestimmten Frequenz schwingen können. Ist diese Schwingung schlecht gedämpft, oder bleibt die Waschmaschine – möglicherweise wegen Überladung – beim Anlaufen des Schleudergangs mit ihrer Drehzahl zu lange im Frequenzbereich dieser Schwingung, so schaukelt sich diese aufgrund von Resonanz auf und die ganze Waschmaschine beginnt zu rütteln. Erst wenn eine höhere Drehzahl erreicht ist (und keine Resonanz mehr vorliegt) beruhigt sich dieses Rütteln (aufgrund der Dämpfung), bis am Ende des Schleudergangs wieder der entsprechende Frequenzbereich durchlaufen wird und die Maschine wegen Resonanz erneut zu rütteln beginnt. Typischerweise ist die Wäsche am Ende des Schleudergangs jedoch trockener, erzeugt somit eine geringere <a href="Unwucht" title="Unwucht">Unwucht</a> und das Rütteln am Ende des Schleudergangs ist deutlich schwächer.

Auch lockere Teile in oder an Motoren können eine bestimmte Eigenfrequenz haben. Liegt die Drehzahl des Motors gerade bei dieser Frequenz, so ist das Wackeln solcher Teile oft sehr laut hörbar, was bei anderen Drehzahlen wieder verschwindet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Resonanz_am_Beispiel_des_harmonischen_Oszillators">Resonanz am Beispiel des harmonischen Oszillators</h2></div>

Die mit der Resonanz verbundenen Phänomene lassen sich anhand des <a href="Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">harmonischen Oszillators</a>, zum Beispiel eines mechanischen Masse-Feder-Dämpfer-Systems wie nebenstehend abgebildet, betrachten.

Das System wird durch eine periodische Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b57ed3bbf501fb3c7f4bc5c4eafa96bb9e32165.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(t)}" loading="lazy">, die auf die Masse wirkt, angeregt. Es kommt je nach Anfangsbedingungen zu unterschiedlichen Einschwingvorgängen. War das Schwingungssystem vorher in Ruhe, wächst die Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> zunächst an und kann, wenn die Erregerfrequenz in der Nähe seiner Eigenfrequenz liegt, größere Werte erreichen als bei konstantem Einwirken der maximalen Kraft. Sofern das Schwingungssystem nicht überlastet wird (<a href="Resonanzkatastrophe" title="Resonanzkatastrophe">Resonanzkatastrophe</a>) und die Dämpfung nicht exakt Null ist, geht die Schwingung allmählich in eine harmonische Schwingung mit konstanten Werten für Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung gegenüber der Erregerschwingung über. Dieses Verhalten zeigt sich vollkommen übereinstimmend für jede Art von harmonischem Oszillator. In der Realität sind zwar die meisten Systeme, die Schwingungen ausführen können nur näherungsweise harmonisch, doch zeigen sie alle die Resonanzphänomene in zumindest ähnlicher Weise (siehe <a href="Anharmonischer_Oszillator" title="Anharmonischer Oszillator">Anharmonischer Oszillator</a>).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Erzwungene_Schwingung" title="Erzwungene Schwingung">Erzwungene Schwingung</a></div>

Der homogenen Differentialgleichung für einen linear gedämpften <a href="Schwingung#Linear_gedämpfte_Schwingung" title="Schwingung">harmonischen Oszillator</a> wird eine externe Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b57ed3bbf501fb3c7f4bc5c4eafa96bb9e32165.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(t)}" loading="lazy"> hinzugefügt. Die Gleichung wird dadurch inhomogen.

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/025cb52385b5f6db70f6b51b4cf24216170c0ca7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"> die momentane <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkung</a> aus der Ruhelage, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> die Masse des Körpers, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> die <a href="Federkonstante" title="Federkonstante">Federkonstante</a> für die rücktreibende Kraft, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die Dämpfungskonstante (s. Abb. 1).

Ohne äußere Kraft und Dämpfung würde das System mit seiner <a href="Eigenfrequenz" class="mw-redirect" title="Eigenfrequenz">Eigenkreisfrequenz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fdef4a5386e30b13ebef11da94cecc2094b84ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:10.201ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}}" loading="lazy"> frei schwingen. Mit Dämpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c>0}" loading="lazy"> führt der komplexe <a href="Exponentialansatz" title="Exponentialansatz">Exponentialansatz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\tilde {x}}(t)=A\mathrm {e} ^{\lambda t}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\tilde {x}}(t)=A\mathrm {e} ^{\lambda t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/004e837a7ad9b4894ab1857c6ad7483089eb418c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.637ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle {\tilde {x}}(t)=A\mathrm {e} ^{\lambda t}}" loading="lazy"> schnell zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \lambda =-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}">

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \lambda =-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f40acdcfe70a40c90e2fb446bd4494c4a51e5cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.165ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle \lambda =-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =c/(2m)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =c/(2m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f401bc20519c6df98c2e52f81cf9dcccc85753a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.542ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma =c/(2m)}" loading="lazy"> ist. Man erhält als Lösung eine freie gedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}">

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ef4cbae2a14c38862813deb48b7fd8ed80a2bb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.998ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}" loading="lazy">, deren Amplitude proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\gamma t}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\gamma t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a49d674768a7c51e5983f082cf425735378034d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.029ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\gamma t}}" loading="lazy"> abnimmt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Konstante_Kraft">Konstante Kraft</h4></div>

Eine statische konstante Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)=F_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)=F_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/761dac35def75c2fece68c19f30f1a955f8bf5b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(t)=F_{0}}" loading="lazy"> eines Erregers hätte eine konstante Auslenkung aus der Ruhelage um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{E}}=F_{0}/k}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{E}}=F_{0}/k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/486d022158b2e28bdb67c55d90057052dc6824c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{E}}=F_{0}/k}" loading="lazy"> zur Folge.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Eingeschwungener_Zustand_für_periodische_Kraft">Eingeschwungener Zustand für periodische Kraft</h4></div>

Wenn die anregende Kraft sinusförmig mit der Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f58df5f4307605e8fa07ae29d6262393b3b0c19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{0}}" loading="lazy"> und der Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> verläuft, lässt sie sich als der Imaginärteil von

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)=F_{0}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35b199a2f586a0e9113a08a4cf8e02121e5dfb92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.375ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(t)=F_{0}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}}" loading="lazy"></dd></dl>

auffassen.

Als stationäre Lösung mit konstanter Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> d. h. für den eingeschwungenen Zustand erhält man wiederum aus dem komplexen Exponentialansatz

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}(t)={\frac {\frac {F_{0}}{m}}{\omega _{0}^{2}+2\mathrm {i} \gamma \omega -\omega ^{2}}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18b836420a403a644daeb33ff29baef79e5d9df0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.837ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}(t)={\frac {\frac {F_{0}}{m}}{\omega _{0}^{2}+2\mathrm {i} \gamma \omega -\omega ^{2}}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Imaginärteil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5eea77037e598e1855f2c80570e8ad6055a4971b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}(t)}" loading="lazy"> beschreibt eine harmonische Schwingung

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t-\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f612577c507a72b509f2f15863a4393f0dc4ccf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t-\varphi )}" loading="lazy"></dd></dl>

um die Ruhelage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d519e9e94f279ea82581dfa70a2444e896e2d860.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.241ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X=0}" loading="lazy">. Sie hat die Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> der anregenden Kraft, die (reelle) Amplitude

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(2\gamma \omega )^{2}}}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {(1-\eta ^{2})^{2}+(2\eta D)^{2}}}}\cdot A_{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70a7ba6891614be33c07b4b8cbc9d67df0e52638.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:58.366ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(2\gamma \omega )^{2}}}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {(1-\eta ^{2})^{2}+(2\eta D)^{2}}}}\cdot A_{\text{E}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und eine konstante Phasenverschiebung gegenüber der erregenden Kraft von

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \gamma }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)\equiv \arctan \left({\frac {2\eta D}{1-\eta ^{2}}}\right)\ .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f700425a77257c7a4799198999441917ca88858a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.723ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \gamma }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)\equiv \arctan \left({\frac {2\eta D}{1-\eta ^{2}}}\right)\ .}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin sind:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{E}}={\tfrac {F_{0}}{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f29196a3f5b39c2a635a5f340200d3b6a1b0401.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:8.918ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{E}}={\tfrac {F_{0}}{k}}}" loading="lazy">: die Amplitude des Erregers, d. h. die Auslenkung bei statischem Einwirken der Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f58df5f4307605e8fa07ae29d6262393b3b0c19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{0}}" loading="lazy">.</li>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta ={\frac {\omega }{\omega _{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83c702b9bc3f58f33d5bba34c8af2865c2f2a1e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.604ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \eta ={\frac {\omega }{\omega _{0}}}}" loading="lazy">: die auf die Eigenfrequenz bezogene Erregerfrequenz,</li>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D={\frac {\gamma }{\omega _{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c854e96b7a4ce175926296000524e6a952b210fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.359ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle D={\frac {\gamma }{\omega _{0}}}}" loading="lazy">: die auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}}" loading="lazy"> bezogene, dimensionslose <a href="D%C3%A4mpfungsgrad" title="Dämpfungsgrad">Lehrsche Dämpfung</a>, die oft auch durch den <a href="G%C3%BCtefaktor" title="Gütefaktor">Gütefaktor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q={\tfrac {1}{2D}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q={\tfrac {1}{2D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92f17c10cf44dd36c490abaf925403458c802d3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.956ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle Q={\tfrac {1}{2D}}}" loading="lazy"> ausgedrückt wird. Der Gütefaktor hat die Bedeutung, dass er die Zahl der Schwingungen angibt, nach denen (in Abwesenheit einer äußeren Kraft) die Amplitude auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{-\pi }\approx 4\,\%}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{-\pi }\approx 4\,\%}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfcccf80482a30d55cccbcaaee6816293bf0cda7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.12ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e^{-\pi }\approx 4\,\%}" loading="lazy"> des Anfangswerts abgeklungen ist (nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {Q}{\pi }}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {Q}{\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19aa6326907710392be4040b2723695a0f2e2647.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.136ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {Q}{\pi }}}" loading="lazy"> Schwingungen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}\approx 37\,\%}">

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}\approx 37\,\%}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77de4054e695095b13aceaf09c7a4c9b620b525f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.404ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}\approx 37\,\%}" loading="lazy">).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Amplitudenresonanz">Amplitudenresonanz </h3></div>

Die Abhängigkeit der Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> von der Erregerfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> wird auch als <a href="Amplitudengang" class="mw-redirect" title="Amplitudengang">Amplitudengang</a> des Systems bezeichnet. Die Resonanzkurve ist der Graph des Amplitudengangs. Abbildung 2 zeigt das dimensionslose Amplitudenverhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {A(\omega )}{A_{\text{E}}}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {A(\omega )}{A_{\text{E}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5749abf5d294130267022efd1cbbb4b289fe34b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:4.37ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {A(\omega )}{A_{\text{E}}}}}" loading="lazy"> für typische Wertebereiche der Parameter für Erregerfrequenz (ebenso dimensionslos dargestellt als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta =\omega /\omega _{0}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =\omega /\omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04935baf1777262fea82a3bed57b89988b84d6e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta =\omega /\omega _{0}}" loading="lazy">) und Dämpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">.

Bei genügend schwacher Dämpfung, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D<{\sqrt {1/2}}}">

<msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D<{\sqrt {1/2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/385dc72df359cffb2765faefa9302a63d68d7dc2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.834ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle D<{\sqrt {1/2}}}" loading="lazy">, zeigt sich ein Maximum, die Amplitudenresonanz. Sie liegt bei der <a href="Resonanzfrequenz" title="Resonanzfrequenz">Resonanzfrequenz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{\text{res}}=\eta _{\text{res}}\,\omega _{0}={\sqrt {1-2\,D^{2}}}\omega _{0}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{\text{res}}=\eta _{\text{res}}\,\omega _{0}={\sqrt {1-2\,D^{2}}}\omega _{0}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49429016c8ef468f3ed09d53f162886d946da474.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:43.809ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{\text{res}}=\eta _{\text{res}}\,\omega _{0}={\sqrt {1-2\,D^{2}}}\omega _{0}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}" loading="lazy"> und zeigt für die maximale Resonanzamplitude den Wert

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{res}}={\frac {A_{\text{E}}}{2D{\sqrt {1-D^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bd1eed196efd313395237ff12fb58937eb93ceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.324ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{res}}={\frac {A_{\text{E}}}{2D{\sqrt {1-D^{2}}}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Verhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{res}}/A_{\text{E}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{res}}/A_{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bf7c36f87e73f9f5ef281decd7e2218094331fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{res}}/A_{\text{E}}}" loading="lazy"> ist die Resonanzüberhöhung. Die Resonanzfrequenz liegt unter der Eigenkreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}}" loading="lazy"> des ungedämpften Schwingungssystems und auch unter der Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b91e2c637d47bed47fcd5bc471faa5904e8e3fde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:15.635ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}" loading="lazy">, mit der die freie gedämpfte Schwingung des Systems abläuft.

Bei geringer (aber nicht verschwindender) Dämpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<D\ll {\tfrac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<D\ll {\tfrac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/903ee36606e1bb1dc2ae10a5f1e95c42f7049a83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.457ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 0<D\ll {\tfrac {1}{2}}}" loading="lazy"> ist die Resonanz ein scharfes Maximum, das fast genau bei der Eigenkreisfrequenz liegt. Die Resonanzamplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{res}}\approx {\tfrac {1}{2D}}A_{\text{E}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{res}}\approx {\tfrac {1}{2D}}A_{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dffc15235c89a7e908b0947b7c40554d381af120.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.21ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{res}}\approx {\tfrac {1}{2D}}A_{\text{E}}}" loading="lazy"> ist dann umgekehrt proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">. Die Amplitude kann also im eingeschwungenen Zustand ein Vielfaches der statischen Auslenkung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{E}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fefb0bf287849ccf1b1d25d661d040e94cbb7f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{E}}}" loading="lazy"> erreichen. Während des Einschwingvorgangs aus der Ruhelage heraus kann sie sogar zeitweilig bis auf fast <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2A_{\text{res}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2A_{\text{res}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6c64c092a42ac715c2f63d30b0c8f23d3d0cbbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.16ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2A_{\text{res}}}" loading="lazy"> ansteigen.

Bei starker Dämpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\geq {\sqrt {1/2}}}">

<msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\geq {\sqrt {1/2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5532523ed3867dd6b982b85dd6f5590def4bb834.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.834ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle D\geq {\sqrt {1/2}}}" loading="lazy"> hingegen gibt es keine Resonanz mit erhöhter Amplitude. Die maximale Amplitude der eingeschwungenen Schwingung liegt mit dem Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{E}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fefb0bf287849ccf1b1d25d661d040e94cbb7f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{E}}}" loading="lazy"> fest beim statischen Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2bb95bb72b12e6b52d1e87c670c3f423041bccc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega =0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Phasenresonanz_und_Energiefluss">Phasenresonanz und Energiefluss</h3></div>

Bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c93049cbc3eaea8d372ce40362944f1a8a67941.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.044ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}" loading="lazy"> eilt die eingeschwungene Schwingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"> der erregenden Kraft um genau 1/4 Periode hinterher (Phasengang −90°, auch als Phasenresonanz bezeichnet). Daher sind Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/867f9767dea7667cf8deac86ec6bbe3162c8d4b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}}(t)}" loading="lazy"> und Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b57ed3bbf501fb3c7f4bc5c4eafa96bb9e32165.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(t)}" loading="lazy"> genau in Phase, sodass die Kraft stets in Richtung der momentanen Geschwindigkeit wirkt. Die Energie fließt dann ständig in das System hinein, während sie bei anderen Frequenzen zweimal pro Periode die Richtung wechselt, weil die Phasendifferenz bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega <\omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega <\omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02ffd58900b6b01b4eb4b3b54b50de401a0d3850.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.044ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega <\omega _{0}}" loading="lazy"> kleiner als 90° und bei höherer Frequenz größer als 90° (und bis 180°) ist. Die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> des eingeschwungenen Zustands erreicht in der Phasenresonanz ihr Maximum. Sie ist dann so groß wie der gesamte Energieeintrag während der letzten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q/(2\pi )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q/(2\pi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e129a4a504e331dc8f83dd0d4141a3d995fe4f1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.305ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q/(2\pi )}" loading="lazy"> Schwingungen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Energieresonanz">Energieresonanz</h3></div>

Die größte <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentielle Energie</a> einer Schwingung mit Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\!kA^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\!kA^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f21f00c5e7eb72b821892feba739314222ac910.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.701ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\!kA^{2}}" loading="lazy">. Die entsprechende Resonanzkurve ist durch das Quadrat des Amplitudengangs gegeben und hat ihr Maximum bei der Frequenz der Amplitudenresonanz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}">

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70416c83e0a3fe2bf637759a8e4060d9debf5c3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:15.705ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}" loading="lazy">.

Die größte kinetische Energie in einer Schwingung mit Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c38a7e8189c0aeb957fe42c17ce8e9365a67593.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.281ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}}" loading="lazy">. Diese Funktion hat ihr Maximum genau bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c93049cbc3eaea8d372ce40362944f1a8a67941.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.044ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}" loading="lazy">.

Bei der für die Optik wichtigen Anwendung auf die Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen durch schwingende Dipole ist die Strahlungsleistung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\omega ^{4}A^{2}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\omega ^{4}A^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb98ce35fb3785b9a9b904376187b4b38a947b66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.956ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\omega ^{4}A^{2}}" loading="lazy">. Das Maximum dieser Funktion liegt etwas oberhalb <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}}" loading="lazy">.

Bei scharfen Resonanzen, also geringer Dämpfung, werden die Unterschiede dieser drei Resonanzfrequenzen meist vernachlässigt und für den Bereich der Resonanz eine um die Eigenfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}}" loading="lazy"> symmetrische Näherungsformel benutzt, die als <a href="Lorentzkurve" title="Lorentzkurve">Lorentzkurve</a> bezeichnet wird:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{2}\approx {\frac {4D^{2}}{(\eta ^{2}-1)^{2}+4D^{2}}}A_{\text{res}}^{2}\equiv {\frac {4\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}}A_{\text{res}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b748c9878c8e636af5e09f49f32533c79f6782d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:54.279ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle A^{2}\approx {\frac {4D^{2}}{(\eta ^{2}-1)^{2}+4D^{2}}}A_{\text{res}}^{2}\equiv {\frac {4\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}}A_{\text{res}}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese Formel zeigt neben der Resonanz auch den für die erzwungene Schwingung charakteristischen langen Ausläufer und ist daher auch für hohe Frequenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \gg 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \gg 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d74c64e02d887e66c8f4f696583cb219b73e2dae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.946ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta \gg 1}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega \gg \omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega \gg \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a8e706127df13427eefc7c9052a0d8f3a7a2b09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.56ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega \gg \omega _{0}}" loading="lazy"> brauchbar.

Die im Schwingungssystem gespeicherte Energie stammt von der Beschleunigungsarbeit durch die anregende Kraft. Die Schwingungsenergie wird erhöht, wenn die Kraft in Richtung der Geschwindigkeit wirkt. Andernfalls entzieht die Kraft dem System Energie, wirkt also bremsend. Im eingeschwungenen Zustand gleicht der Energieeintrag gerade den Energieverlust aufgrund der Dämpfung aus.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Halbwertsbreite_und_Gütefaktor">Halbwertsbreite und Gütefaktor</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Halbwertsbreite" title="Halbwertsbreite">Halbwertsbreite</a> und <a href="G%C3%BCtefaktor" title="Gütefaktor">Gütefaktor</a></div>

Als Halbwertsbreite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41b59f9825e626a16276c1ed6fd14bfdc588f35e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}" loading="lazy"> (engl. full width at half maximum) der Resonanz wird der Bereich von Frequenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\omega /2\pi }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\omega /2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67f54302f89c31088cb60b7d22dd14c945501ad4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.48ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=\omega /2\pi }" loading="lazy"> um die Resonanzfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{\text{res}}=\omega _{0}/2\pi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{\text{res}}=\omega _{0}/2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7551dc0724e5146b2c1540aab345b1b25bfc92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{\text{res}}=\omega _{0}/2\pi }" loading="lazy"> bezeichnet, in dem für die Amplitude gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}A_{\text{res}}^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}A_{\text{res}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/706c6e0eac35c8c669c5e1e88f008da37bfbd827.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.552ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle A^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}A_{\text{res}}^{2}}" loading="lazy">. Im interessierenden Bereich geringer Dämpfung liegen nach der Näherungsformel für die Lorentzkurve diese Grenzen bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta =1\pm D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =1\pm D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eff397403ea7e1d5e50c67810c9b536ef129e3c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.195ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta =1\pm D}" loading="lazy">. Umgerechnet auf die Frequenzachse ergibt sich die Halbwertsbreite

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}=2D{\frac {\omega _{0}}{2\pi }}\equiv {\frac {\gamma }{\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdd86c406cc4b2102a5df809b8965f754fe6fc6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.597ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}=2D{\frac {\omega _{0}}{2\pi }}\equiv {\frac {\gamma }{\pi }}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Schärfe der Resonanz kann mit der Dämpfung oder mit dem Gütefaktor

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\Delta f_{\text{FWHM}}}{f_{\text{res}}}}=2D={\frac {1}{Q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f72f80544ccf328a761282f70608e2736e0c7c55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.603ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\Delta f_{\text{FWHM}}}{f_{\text{res}}}}=2D={\frac {1}{Q}}}" loading="lazy"></dd></dl>

angegeben werden.

Nach der oben angegebenen Bedeutung des Gütefaktors kann man einen Zeitraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> Perioden der Eigenfrequenz als charakteristisch für das Abklingen einer gedämpften Eigenschwingung ansehen, also auch charakteristisch für die Dauer des Einschwingvorgangs oder im übertragenen Sinn für das „Gedächtnis des Oszillators“. Analysiert man eine Schwingung mit Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6423b30a4c5770c59b5ab92dcb4ce378755440ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{0}}" loading="lazy"> mithilfe einer Reihe von Resonatoren zu verschiedenen Resonanzfrequenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, dann erfordert die Bestimmung der Resonanzamplitude also die Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t=Q/f_{0}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=Q/f_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c8e97a6bf8e34efbc9e017f2051b1239b3ee7eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=Q/f_{0}}" loading="lazy"> und liefert die Resonanzfrequenz mit der Genauigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41b59f9825e626a16276c1ed6fd14bfdc588f35e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}" loading="lazy">. Unterscheiden sich zwei Oszillatoren in der Frequenz um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41b59f9825e626a16276c1ed6fd14bfdc588f35e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}" loading="lazy">, dann macht in diesem Zeitraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}" loading="lazy"> der schnellere gerade eine Schwingung mehr als der langsamere. Es folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t\cdot \Delta f_{\text{FWHM}}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t\cdot \Delta f_{\text{FWHM}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85fb281472d8e51a2662c48b288c7f760ed54247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.525ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t\cdot \Delta f_{\text{FWHM}}=1}" loading="lazy">: je genauer die Frequenz einer Schwingung bestimmt werden soll, desto länger muss man sie auf einen Resonator einwirken lassen. Das ist eine frühe Form der Frequenz-Zeit-<a href="Unsch%C3%A4rferelation" class="mw-redirect" title="Unschärferelation">Unschärferelation</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resonanz_bei_Dämpfung_Null">Resonanz bei Dämpfung Null</h3></div>

Verschwindende Dämpfung ist zwar ein nur theoretischer Grenzfall; reale Systeme mit sehr geringer Dämpfung kommen ihm aber nahe, wenn man sie für einen nicht zu langen Zeitraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t<1/\gamma }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t<1/\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dcaf7f32abc1a9f58d8f3867ad30fa1a04fb3ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.525ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t<1/\gamma }" loading="lazy"> betrachtet, der jedoch eine große Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}/(2\pi \gamma )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}/(2\pi \gamma )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/886a74295ed6d510caf772ffecfbe9f9232fbc6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}/(2\pi \gamma )}" loading="lazy"> von Schwingungen umfassen kann.

Im dämpfungsfreien Fall gibt es keinen <a href="Einschwingvorgang" title="Einschwingvorgang">Einschwingvorgang</a>, der unabhängig von den Anfangsbedingungen zu einer bestimmten stationären Schwingung führen würde. Eine eventuell mitangeregte Eigenschwingung klingt hier nicht ab, sondern bleibt unvermindert präsent. Bei resonanter Anregung, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c93049cbc3eaea8d372ce40362944f1a8a67941.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.044ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}" loading="lazy">, gibt es keine stationäre Lösung der Bewegungsgleichung, vielmehr variiert die Amplitude linear mit der Zeit. Ausgehend z. B. vom Zustand ruhend in der Ruhelage steigt die Amplitude proportional zur verstrichenen Zeit an:

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)={\frac {F_{0}}{2\,m\,\omega _{0}}}\cdot t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b482a6fc474dd6ed0655499b5085b9c685bfad4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.322ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A(t)={\frac {F_{0}}{2\,m\,\omega _{0}}}\cdot t}" loading="lazy"></dd></dl>

Theoretisch kommt es hier also in jedem Fall zur Resonanzkatastrophe. Praktisch ist diese vermeidbar durch eine anderweitig bewirkte Amplitudenbegrenzung, also eine Änderung des Kraftgesetzes (siehe <a href="Anharmonischer_Oszillator" title="Anharmonischer Oszillator">Anharmonischer Oszillator</a>).

Außerhalb der exakten Resonanzfrequenz hingegen existiert zu geeigneten Anfangsbedingungen eine stationäre Schwingung. Sie ergibt sich aus den obigen Gleichungen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=0{\text{ bzw. }}\gamma =0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=0{\text{ bzw. }}\gamma =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f9ac1938bbb0dfccaa5ae2a4daa59b073b46cd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.52ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle D=0{\text{ bzw. }}\gamma =0}" loading="lazy">. Das Amplitudenverhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(\omega )/A_{\text{E}}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(\omega )/A_{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bd624ad67e613bdb3c3d9953cffef3f42e9c339.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(\omega )/A_{\text{E}}}" loading="lazy"> ist bei jeder Anregungsfrequenz größer als im Fall mit Dämpfung. Bei Resonanz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c93049cbc3eaea8d372ce40362944f1a8a67941.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.044ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega =\omega _{0}}" loading="lazy"> divergiert die Formel für die Amplitude und es gibt keinen Zustand der stationären Schwingung. Die Phasenverzögerung ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =0^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =0^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ebf791911e3473e18b2fab352d9036afbefe06c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.835ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi =0^{\circ }}" loading="lazy"> für Frequenzen unterhalb der Resonanz, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f92e3a802cc79fe9a181dfa3654687b19bc042a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi =180^{\circ }}" loading="lazy"> oberhalb, wie aus der obigen Formel durch den Grenzübergang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \rightarrow 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \rightarrow 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1b021687f94c07a245dd9aaa50197039869523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.039ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma \rightarrow 0}" loading="lazy"> hervorgeht. (Für weitere Formeln und Erläuterungen siehe <a href="Erzwungene_Schwingung#Grenzfall_verschwindender_Dämpfung" title="Erzwungene Schwingung">Erzwungene Schwingung#Grenzfall verschwindender Dämpfung</a>.)

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_das_Auftreten_von_Resonanz">Beispiele für das Auftreten von Resonanz</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mechanik">Mechanik</h3></div>

<ul><li>Bei einem <a href="Zungenfrequenzmesser" title="Zungenfrequenzmesser">Zungenfrequenzmesser</a> wird derjenige von vielen Biegeschwingern, der mit der Erregerfrequenz in Resonanz ist, zu besonders großer Schwingungsamplitude angeregt.</li>

<li>Kommt eine Brücke in Resonanz mit der Schrittfrequenz von marschierenden Fußgängermassen, kann sich die Konstruktion gefährlich aufschaukeln, Beispiel <a href="Millennium_Bridge_(London)" title="Millennium Bridge (London)">Millennium Bridge (London)</a></li>

<li>Fahrzeugkarosserien neigen bei bestimmten Motordrehzahlen zu starken Vibrationen (Dröhnen)</li>

<li><a href="Bahnresonanz" title="Bahnresonanz">Bahnresonanz</a> kann bei Planeten dafür sorgen, dass ein Himmelskörper auf Kollisionskurs mit einem anderen gerät. An <a href="Lagrange-Punkte" title="Lagrange-Punkte">Lagrange-Punkten</a> kann diese Resonanz stabilisierend wirken, beispielsweise bleibt der Sonnenbeobachtungssatellit <a href="Solar_and_Heliospheric_Observatory" title="Solar and Heliospheric Observatory">SOHO</a> seit 1995 immer in der Nähe des inneren Lagrange-Punktes L1.</li>

<li>Zur Erzeugung von <a href="Ultraschall" title="Ultraschall">Ultraschall</a> für medizinische oder technische Anwendungen werden elektromechanische, meist <a href="Piezoelektrizit%C3%A4t" title="Piezoelektrizität">piezoelektrische</a>, Wandler zu resonanten Schwingungen angeregt.</li>

<li>Ein <a href="Ultraschallbohrer" title="Ultraschallbohrer">Ultraschallbohrer</a> bringt das zu bohrende Gestein in Resonanz, wodurch das Gestein zerbröselt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hydromechanik">Hydromechanik</h3></div>

<ul><li><a href="Tideresonanz" title="Tideresonanz">Tideresonanz</a></li>

<li><a href="Wellenresonanz" title="Wellenresonanz">Wellenresonanz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Akustik">Akustik</h3></div>

<ul><li>die Tonerzeugung bei Musikinstrumenten (Streich- und Blasinstrumenten), siehe z. B. <a href="Holzblasinstrument" title="Holzblasinstrument">Holzblasinstrument</a>, <a href="Resonanzboden" title="Resonanzboden">Resonanzboden</a></li>

<li>das Mitschwingen einer nicht gespielten <a href="Saite" title="Saite">Saite</a>, wenn ein gleichgestimmtes <a href="Musikinstrument" title="Musikinstrument">Instrument</a> ertönt (z. B. <a href="Resonanzsaite" title="Resonanzsaite">Resonanzsaite</a>)</li>

<li>In geschlossenen Räumen kann es bei bestimmten Frequenzen zu störender <a href="Raummode" title="Raummode">Raumresonanz</a> kommen.</li>

<li>Ein <a href="Resonanzauspuff" title="Resonanzauspuff">Resonanzauspuff</a> ermöglicht bei Zweitakt-Motoren bei einer ganz bestimmten Drehzahl eine gewisse Leistungssteigerung.</li></ul>

Akustische Resonanz spielt beispielsweise bei fast allen Musikinstrumenten eine Rolle, oft durch Bildung einer <a href="Stehende_Welle" title="Stehende Welle">stehenden Welle</a>.

Misst man am Ende eines beiderseits offenen, zylindrischen Rohres mit geeigneten Mikrophonen <a href="Schalldruck" title="Schalldruck">Schalldruck</a> und <a href="Schallschnelle" title="Schallschnelle">Schallschnelle</a>, kann man bei Kenntnis des Rohrquerschnitts die <a href="Akustische_Impedanz#Akustische_Flussimpedanz" title="Akustische Impedanz">akustische Flussimpedanz</a> berechnen.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Diese zeigt Mehrfachresonanzen, wie man sie auch bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen entlang Drähten als <a href="Leitungstheorie#λ/2-Leitung" title="Leitungstheorie">Sonderfall λ/2</a> kennt. Das Messergebnis im Bild zeigt mehrere scharfe Minima der Flussimpedanz bei Vielfachen der Frequenz 500 Hz. Eine Überprüfung mit der Rohrlänge von 325 mm und der <a href="Schallgeschwindigkeit" title="Schallgeschwindigkeit">Schallgeschwindigkeit</a> in Luft ergibt den Sollwert 528 Hz.

Weil der Messwert des tiefsten Minimums mit etwa 40000 Pa·s/m³ von der <a href="Schallkennimpedanz" title="Schallkennimpedanz">Schallkennimpedanz</a> der umgebenden Luft (413,5 Pa·s/m³) erheblich abweicht, liegt eine <a href="Fehlanpassung" title="Fehlanpassung">Fehlanpassung</a> vor und die schwingende Luftsäule im Rohr ist nur leise hörbar. Dieser geringe Energieverlust drückt sich in einem hohen <a href="G%C3%BCtefaktor" title="Gütefaktor">Gütefaktor</a> des Resonators aus.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektrotechnik">Elektrotechnik</h3></div>

Ohne Resonanz gäbe es keine <a href="Funktechnik" title="Funktechnik">Funktechnik</a> mit den bekannten Teilgebieten <a href="Fernsehen" title="Fernsehen">Fernsehen</a>, <a href="Mobiltelefon" title="Mobiltelefon">Mobiltelefon</a>, <a href="Radar" title="Radar">Radar</a>, <a href="Funkfernsteuerung" title="Funkfernsteuerung">Funkfernsteuerung</a> und <a href="Radioastronomie" title="Radioastronomie">Radioastronomie</a>, weil es ohne die Möglichkeit, Sendefrequenzen voneinander zu trennen, weltweit nur wenige vereinzelte Sender mit ausreichenden Abständen geben könnte. Im überwiegenden Teil aller <a href="Oszillatorschaltung" title="Oszillatorschaltung">Oszillatorschaltungen</a> und elektrischen <a href="Filter_(Elektrotechnik)" title="Filter (Elektrotechnik)">Filter</a> werden <a href="Schwingkreis" title="Schwingkreis">Schwingkreise</a> verwendet, denen die <a href="Thomsonsche_Schwingungsgleichung" title="Thomsonsche Schwingungsgleichung">Thomsonsche Schwingungsgleichung</a> zur <a href="Resonanzfrequenz" title="Resonanzfrequenz">Resonanzfrequenz</a>

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</mrow>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3719ddea03d2a499d44a142c1f0f68b5a98497c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:11.72ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

zu Grunde liegt. Der Wirkungsgrad von <a href="Antennentechnik" class="mw-redirect" title="Antennentechnik">Antennen</a> und <a href="Tesla-Transformator" title="Tesla-Transformator">Tesla-Transformatoren</a> wird durch Resonanz drastisch gesteigert.

Die Sicherheit im Eisenbahnnetz wird durch die <a href="Indusi" title="Indusi">induktive Zugbeeinflussung</a> verbessert. Dabei tritt ein am Fahrzeug angebrachter Schwingkreis in resonante Wechselwirkung mit einem am Gleis angebrachten Schwingkreis, dessen Frequenz je nach Stellung des nächsten Bahnsignals verschieden ist; bei Signalstellung „Halt“ wird eine Zwangsbremsung ausgelöst.

Die großen <a href="Teilchenbeschleuniger" title="Teilchenbeschleuniger">Teilchenbeschleuniger</a> der <a href="Elementarteilchen" title="Elementarteilchen">Elementarteilchenphysik</a> beruhen auf Resonanzeffekten, ebenso die <a href="Kernspinresonanzspektroskopie" title="Kernspinresonanzspektroskopie">Kernspinresonanzspektroskopie</a> in der Chemie und die <a href="Magnetresonanztomographie" title="Magnetresonanztomographie">Magnetresonanztomographie</a> in der Medizin.

<a href="RFID" title="RFID">RFIDs</a>, umgangssprachlich auch Funketiketten genannt, ermöglicht die automatische Identifizierung und Lokalisierung von Gegenständen und Lebewesen. Dabei wird die Betriebsenergie durch Resonanz auf das RFID übertragen und dieses sendet seine Information auf gleichem Weg zurück.

Ein <a href="Absorptionsfrequenzmesser" title="Absorptionsfrequenzmesser">Absorptionsfrequenzmesser</a> wirkt bei Resonanz wie ein selektives Voltmeter.

Ein <a href="Magnetron" title="Magnetron">Magnetron</a> erzeugt nur dann Schwingungen, wenn die Umlaufgeschwindigkeit mit der Eigenfrequenz der <a href="Hohlraumresonator" title="Hohlraumresonator">Hohlraumresonatoren</a> übereinstimmt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Atom-_und_Molekülphysik">Atom- und Molekülphysik</h3></div>

In der Atom- und <a href="Molek%C3%BClphysik" title="Molekülphysik">Molekülphysik</a> spricht man von Resonanz, wenn ein Photon der Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }=h\cdot \nu }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }=h\cdot \nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2de413cdc6815c9535c601943584d80f09778822.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.189ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }=h\cdot \nu }" loading="lazy"> (h = <a href="Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planck-Konstante</a>, ν = Frequenz des Lichtes) in der Hülle des Atoms <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">absorbiert</a> wird. Dies ist nur möglich, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }}">

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b7c4bbc56e3ac88a6c9daf40a7c108f0603bd02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }}" loading="lazy"> gerade gleich der Energiedifferenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E_{\mathrm {GA} }=E_{\mathrm {A} }-E_{\mathrm {G} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E_{\mathrm {GA} }=E_{\mathrm {A} }-E_{\mathrm {G} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fe7704b4a7a45b3b739044e4a0b19da3aa2f0f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.762ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E_{\mathrm {GA} }=E_{\mathrm {A} }-E_{\mathrm {G} }}" loading="lazy"> zwischen zwei Zuständen G und A der Elektronenhülle ist. Ein Elektron wird dann vom Zustand G in den Zustand A angehoben. Die Anregungswahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })}">

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6db3d3cabc92bb1914de3ccd3753bc987242fd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:8.663ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })}" loading="lazy"> eines solchen Überganges wird durch eine <a href="Lorentzkurve" title="Lorentzkurve">Lorentzkurve</a> beschrieben:

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</mrow>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })\sim {\frac {1}{\left|(1+(E_{\gamma }/\Delta E_{\mathrm {GA} })^{2})\right|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e41766a01edb56b6bfd40d3634cf58fb46bd7190.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; margin-left: -0.089ex; width:32.976ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })\sim {\frac {1}{\left|(1+(E_{\gamma }/\Delta E_{\mathrm {GA} })^{2})\right|}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Vorgang heißt <a href="Resonanzabsorption" title="Resonanzabsorption">Resonanzabsorption</a>. Er erklärt beispielsweise die <a href="Fraunhoferlinie" title="Fraunhoferlinie">Fraunhoferlinien</a> im Spektrum des Sonnenlichts.

Meist fällt nun das Elektron aus dem <a href="Angeregter_Zustand" title="Angeregter Zustand">angeregten Zustand</a> zurück in den Grundzustand, wobei wieder ein Photon der Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }=E_{\mathrm {GA} }}">

<msub>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }=E_{\mathrm {GA} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd1e5c6c9b5859acfc8ce9ee5869230568f4f037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }=E_{\mathrm {GA} }}" loading="lazy"> ausgesandt wird. Dies geschieht entweder spontan (<a href="Spontane_Emission" title="Spontane Emission">spontane Emission</a>, <a href="Fluoreszenz" title="Fluoreszenz">Fluoreszenz</a>, <a href="Phosphoreszenz" title="Phosphoreszenz">Phosphoreszenz</a>) oder durch Stoß eines zweiten eingestrahlten Photons der gleichen Energie (<a href="Stimulierte_Emission" title="Stimulierte Emission">stimulierte Emission</a>, ausgenutzt beim <a href="Laser" title="Laser">Laser</a>).

Aus dem Grundzustand kann das Atom nun wieder angeregt werden. Es kann also eine Besetzungszahloszillation zwischen den Zuständen G und A ausführen, die als <a href="Rabi-Oszillation" title="Rabi-Oszillation">Rabi-Oszillation</a> bezeichnet wird. Die Oszillation tritt, wie erwähnt, nur dann auf, wenn die eingestrahlten Photonen in Resonanz mit den Energieniveaus eines Atoms sind. Solche Resonanzen können z. B. zur Identifizierung von Gasen in der <a href="Spektroskopie" title="Spektroskopie">Spektroskopie</a> verwendet werden, da sie das Vermessen der atom- oder molekültypischen Energieniveaus erlauben.

Im menschlichen Auge gibt es drei verschiedene Arten von <a href="Zapfen_(Auge)" title="Zapfen (Auge)">Zapfen</a> (Farbrezeptoren). Die darin enthaltenen <a href="Opsin" title="Opsin">Opsin</a>-Moleküle unterscheiden sich durch ihre spektrale Empfindlichkeit und setzen bei Resonanz mit Photonen geeigneter Wellenlänge intrazelluläre <a href="Signalkaskade" class="mw-redirect" title="Signalkaskade">Signalkaskaden</a> in Gang (s. <a href="Phototransduktion" title="Phototransduktion">Phototransduktion</a>). Es werden elektrische Signale gebildet, die über die <a href="Retinale_Ganglienzelle" title="Retinale Ganglienzelle">Ganglienzellen</a> an das Gehirn weitergegeben werden. Dort entsteht aus den übermittelten Signalen ein Farbeindruck (s. <a href="Farbwahrnehmung" title="Farbwahrnehmung">Farbwahrnehmung</a>).

Weitere Resonanzphänomene treten bei der Kopplung des magnetischen Moments eines Atoms, Atomkerns, Moleküls oder Elektrons (<a href="Spin" title="Spin">Spin</a>) an ein Magnetfeld auf, zum Beispiel <a href="Elektronenspinresonanz" title="Elektronenspinresonanz">Elektronenspinresonanz</a> und <a href="Kernspinresonanz" title="Kernspinresonanz">Kernspinresonanz</a>. Dabei regt ein mit passender Frequenz oszillierendes Magnetfeld das Umklappen des Spins zwischen zwei diskreten Zuständen verschiedener Energie an. Auch dieser Effekt kann entsprechend den Rabi-Oszillationen beschrieben werden und wird z. B. in der Medizintechnik und zu Materialuntersuchungen eingesetzt (siehe z. B. <a href="Magnetresonanztomographie" title="Magnetresonanztomographie">Magnetresonanztomographie</a>).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kernphysik">Kernphysik</h3></div>

Resonanz bedeutet in der Kernphysik, dass bei einem Stoßvorgang mit bestimmter kinetischer Energie die beiden Partner sich zu einem kurzzeitig <a href="Gebundener_Zustand" title="Gebundener Zustand">gebundenen System</a>, dem <a href="Compoundkern" title="Compoundkern">Compoundkern</a>, in einem seiner möglichen <a href="Energiezustand" class="mw-redirect" title="Energiezustand">Energiezustände</a> vereinigen. Der <a href="Wirkungsquerschnitt" title="Wirkungsquerschnitt">Wirkungsquerschnitt</a> zeigt bei dieser Stoßenergie ein Maximum von der Form einer <a href="Breit-Wigner-Funktion" class="mw-redirect" title="Breit-Wigner-Funktion">Breit-Wigner-Kurve</a>, die der für Resonanzen typischen <a href="Lorentzkurve" title="Lorentzkurve">Lorentzkurve</a> gleicht.

Ein solches System kann nicht stabil sein, sondern zerfällt nach kurzer Zeit wieder, z. B. in die beiden <a href="Teilchen" title="Teilchen">Teilchen</a>, aus denen es gebildet wurde. Doch lässt sich aus der <a href="Zerfallsbreite" title="Zerfallsbreite">Zerfallsbreite</a> der Kurve entnehmen, dass es wesentlich länger existiert hat, als einer Reaktion der Teilchen im Vorbeiflug entsprechen würde.

Alle größeren <a href="Atomkern" title="Atomkern">Kerne</a> zeigen die <a href="Riesenresonanz" title="Riesenresonanz">Riesenresonanz</a>, einen angeregten Zustand, bei dem die <a href="Proton" title="Proton">Protonen</a> gemeinsam gegenüber den <a href="Neutron" title="Neutron">Neutronen</a> schwingen.

Die <a href="Resonanzabsorption" title="Resonanzabsorption">Resonanzabsorption</a> von <a href="Gammaquant" class="mw-redirect" title="Gammaquant">Gammaquanten</a> ermöglicht durch Ausnutzung des <a href="Dopplereffekt" class="mw-redirect" title="Dopplereffekt">Dopplereffekts</a> den Vergleich von <a href="Anregungsenergie" title="Anregungsenergie">Anregungsenergien</a> mit einer Genauigkeit von mehr als 1012. Atomkerne sind Resonatoren mit z. T. extrem hohen Gütefaktoren von 1012 und aufwärts (z. B. Gütefaktor von 99<a href="Technetium" title="Technetium">Tc</a>: 6,8·1024).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilchenphysik">Teilchenphysik</h3></div>

Ähnlich wie bei der Compoundkernbildung kann aus zwei Stoßpartnern ein instabiles, aber vergleichsweise langlebiges gebundenes System oder sogar ein einziges, andersartiges Teilchen entstehen, wenn die Stoßenergie im <a href="Schwerpunktsystem" title="Schwerpunktsystem">Schwerpunktsystem</a> gerade dazu ausreicht. Dieser Fall wird auch als <a href="Resonanzproduktion" title="Resonanzproduktion">Resonanzproduktion</a> bezeichnet. Die Anregungsfunktion des Stoßprozesses, also sein <a href="Wirkungsquerschnitt" title="Wirkungsquerschnitt">Wirkungsquerschnitt</a> aufgetragen als Funktion der Energie, zeigt dann bei dieser Energie ein Maximum mit der für eine Resonanz typischen Kurvenform. So gebildete Systeme werden häufig als Resonanz oder Resonanzteilchen bezeichnet. Aus der Halbwertsbreite der Kurve (siehe <a href="Zerfallsbreite" title="Zerfallsbreite">Zerfallsbreite</a>) kann die – für eine direkte Messung zu kurze – <a href="Lebensdauer_(Physik)" class="mw-redirect" title="Lebensdauer (Physik)">Lebensdauer</a> des entstandenen Teilchens bestimmt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Vergr%C3%B6%C3%9Ferungsfunktion" title="Vergrößerungsfunktion">Vergrößerungsfunktion</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Resonance?uselang=de">Commons: Resonanz</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/resonant" class="extiw external" title="wikt:resonant">Wiktionary: resonant</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Resonanz" class="extiw external" title="wikt:Resonanz">Wiktionary: Resonanz</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Andrea Frova, Mariapiera Marenzana: Thus spoke Galileo. The great scientist's ideas and their relevance to the present day. Oxford University Press, Oxford u. a. 2006, ISBN 0-19-856625-5, S. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=1P6fF-bE4CAC&pg=PA133&dq=Galileo+pendulum+resonance#v=onepage&q=Galileo%20pendulum%20resonance&f=false">133–137</a>.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Stillman_Drake" title="Stillman Drake">Stillman Drake</a>: Essays on Galileo and the history and philosophy of science. Band 1. Selected and introduced by Noel M. Swerdlow and Trevor H. Levere. University of Toronto Press, Toronto u. a. 1999, ISBN 0-8020-7585-1, S. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=sp8_hrRI2MoC&pg=PA41&dq=galileo+1602+pendulum#v=onepage&q=galileo%201602%20pendulum&f=false">41–42</a>.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Leonhard Euler: <cite style="font-style:italic">Brief vom 5. (16.) Mai 1739 (Nr. 23) an Johann Bernoulli</cite>. In: Emil A. Fellmann, Gleb K. Mikhajlov (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Euler: Opera Ommnia</cite> (= <cite style="font-style:italic">Briefwechsel Series Quarta A Commercium Epistolicum</cite>). Band II. Birkhäuser, Basel 1998, S. 58, 303 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=5eOb-jCkaaQC&pg=PA58&dq=resonanz&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjSwOLXptnMAhUInRQKHW7yBz8Q6AEIHTAA#v=onepage&q=wunderliche&f=false">online</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Resonanz&rft.atitle=Brief+vom+5.+%2816.%29+Mai+1739+%28Nr.+23%29+an+Johann+Bernoulli&rft.au=Leonhard+Euler&rft.btitle=Euler%3A+Opera+Ommnia&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.pages=58%2C+303&rft.place=Basel&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.series=Briefwechsel+Series+Quarta+A+Commercium+Epistolicum&rft.volume=Band+II" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Thomas Young: Tides: From the Supplement to the Encyclopedia Britannica 1823: Abgedruckt in: Peacock, George (Hg.) (1855). Miscellaneous works of the late Thomas Young. London: J. Murray. Band 2, S. 291 ff.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Anton Oberbeck: <cite style="font-style:italic">Ueber eine der Resonanz ähnliche Erscheinung bei electrischen Schwingungen</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. Band 262, Nr. 10, 1885, S. 245–253.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Resonanz&rft.atitle=Ueber+eine+der+Resonanz+%C3%A4hnliche+Erscheinung+bei+electrischen+Schwingungen&rft.au=Anton+Oberbeck&rft.date=1885&rft.genre=journal&rft.issue=10&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.pages=245-253&rft.volume=262" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Johann Friedrich Radinger: <cite style="font-style:italic">Über Dampfmaschinen mit hoher Kolbengeschwindigkeit</cite>. Druck und Verlag von Carl Gerold’s Sohn, 1892.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Resonanz&rft.au=Johann+Friedrich+Radinger&rft.btitle=%C3%9Cber+Dampfmaschinen+mit+hoher+Kolbengeschwindigkeit&rft.date=1892&rft.genre=book&rft.pub=Druck+und+Verlag+von+Carl+Gerold%E2%80%99s+Sohn" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Arnold Sommerfeld: <cite style="font-style:italic">Die naturwissenschaftlichen Ergebnisse und die Ziele der modernen technischen Mechanik</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Naturwissenschaftliche Rundschau</cite>. Band 49, 1903, S. 621–624.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Resonanz&rft.atitle=Die+naturwissenschaftlichen+Ergebnisse+und+die+Ziele+der+modernen+technischen+Mechanik&rft.au=Arnold+Sommerfeld&rft.btitle=Naturwissenschaftliche+Rundschau&rft.date=1903&rft.genre=book&rft.pages=621-624&rft.volume=Band+49" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Armin Hermann: <cite style="font-style:italic">Der Brückenschlag zwischen Mathematik und Technik: Arnold Sommerfelds Verdienste um eine wissenschaftliche technische Mechanik</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physikalische Blätter</cite>. Band 23, Nr. 10, 1967, S. 442–449.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Resonanz&rft.atitle=Der+Br%C3%BCckenschlag+zwischen+Mathematik+und+Technik%3A+Arnold+Sommerfelds+Verdienste+um+eine+wissenschaftliche+technische+Mechanik&rft.au=Armin+Hermann&rft.date=1967&rft.genre=journal&rft.issue=10&rft.jtitle=Physikalische+Bl%C3%A4tter&rft.pages=442-449&rft.volume=23" style="display:none">

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<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Mark Buchanan: <cite style="font-style:italic">Going into resonance</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Nature Physics</cite>. Band 15, Nr. 3, 2019, S. 203, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1038/s41567-019-0458-z">10.1038/s41567-019-0458-z</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Resonanz&rft.atitle=Going+into+resonance&rft.au=Mark+Buchanan&rft.date=2019&rft.doi=10.1038%2Fs41567-019-0458-z&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Nature+Physics&rft.pages=203&rft.volume=15" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Jörn Bleck-Neuhaus: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1811.08353">Mechanical resonance: 300 years from discovery to the full understanding of its importance.</a> Abgerufen am 19. Juli 2020.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AResonanz&rft.title=Mechanical+resonance%3A+300+years+from+discovery+to+the+full+understanding+of+its+importance&rft.description=Mechanical+resonance%3A+300+years+from+discovery+to+the+full+understanding+of+its+importance&rft.identifier=https%3A%2F%2Farxiv.org%2Fabs%2F1811.08353&rft.creator=J%C3%B6rn+Bleck-Neuhaus">  (engl.)

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130513045255/http://www.phys.unsw.edu.au/jw/reprints/DickensSmithWolfe.pdf">Messung der akustischen Flussimpedanz</a> (englisch; PDF; 856 kB)

</li>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4132123-6">4132123-6</a> </div>

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